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TELECOMMUNICATIONS HERTZIENNES: LA MODULATION

4 - Les modulations de base

Les techniques de modulation

Rappel mathématiques simples

D'abord quelques principes de base, en commençant par quelques rappels mathématiques simples. Un signal sinusoïdal peut s'écrire sous la forme :

s(t) = A .cos(ω.t+Φ)

Où A représente l'amplitude du signal sinusoïdal, ω la pulsation (ω = 2?f où f est la fréquence) et Φ la phase à l'origine. Chacun de ces 3 paramètres peut être "modulé" en fonction du temps, permettant ainsi de superposer une information à la porteuse selon les différents types de modulation. Plusieurs paramètres peuvent être modulés simultanément pour obtenir des modulations dites "complexes". On démontre que les modulations de fréquence et de phase peuvent se déduire l'une de l'autre, si bien que, dans la pratique, les modulations complexes sont réalisées en ne modulant simultanément que l'amplitude et la phase.

  • Modulation d'amplitude:

Si l'amplitude A varie avec le temps : A = f1(t), il s'agit d'une "modulation d'amplitude" de la porteuse. Dans le cas d'une modulation d'amplitude par un signal modulant de forme sinusoïdale (cet exemple se justifie du fait que tout signal périodique est constitué d'une somme de signaux sinusoïdaux, par décomposition en série de Fourier), l'amplitude A sera alors de la forme:

A = A0.(1 + m.cos Ω.t )

et la porteuse modulée de la forme :

s1(t) = A0.(1 + m.cos Ω.t ) .(cos (ω.t + Φ), (a)

Ici, A0 représente l'amplitude de la porteuse non modulée, m l'amplitude de la modulation (0 < m < 1) et Ω = 2?F la pulsation du signal modulant.

  • Modulation d'amplitude à porteuse supprimée:

Nous pouvons simplifier la formule (a) en supposant la phase Φ nulle à l'origine, cette phase étant fixe et arbitraire. Soit:

s1(t) = A0.(1 + m.cos Ω.t).(cos ω.t)

Cette expression peut alors s'écrire (selon la relation trigonométrique : cos a.cos b = ½.[ cos (a+b) + cos (a-b) ])

s1(t) = A0.cos ω.t + ½.A0.m.(cos[(ω + Ω).t] + cos[(ω - Ω).t])

Cette expression nous montre que le signal est composé d'un signal constant à la fréquence f et de deux fréquences à f-F et f+F, qui supportent seules l'information de la modulation. Il est tentant, pour optimiser la puissance émise de supprimer le terme A0.cos ω.t, c'est à dire ce qui reste de la porteuse.

Cette technique s'appelle "modulation à suppression de porteuse", elle présente un grand intérêt pour les modulations complexes, comme nous le verrons par la suite. Elle nécessite cependant de recréer la fréquence porteuse initiale au niveau du récepteur pour pouvoir démoduler le signal.

  • Modulation de fréquence :

Si la pulsation ω (ou la fréquence f=ω/2?) varie avec le temps : ω = f2(t), il s'agit d'une "modulation de fréquence". Dans le cas d'une modulation en fréquence par le même signal sinusoïdal que ci-dessus, la pulsation et la fréquence seront de la forme:

ω = ω0.(1 + m.cos Ω.t), et: f = f0.(1 + m.cos Ω.t)

L'expression du signal modulé est donc de la forme :

s2(t) = A0.cos[ω0.(1 + m.cos Ω.t ).t + Φ] = A0.cos(ω0.t + m.ω0.cos Ω.t + Φ), (b)

où la fréquence f de la porteuse est modulée sinusoïdalement par la fréquence F.

  • Modulation de phase :

Enfin si Φ varie avec le temps : Φ = f3(t), il s'agit d'une "modulation de phase". Dans le cas d'une modulation de phase par le signal sinusoïdal précédemment défini:

Φ = Φ0.(1 + m.cos Ω.t)

L'expression du signal modulé est de la forme :

s3(t) = A0.cos(ω.t + m.cos Ω.t), (c)
Représentations graphiques des signaux modulés

fig11

Rappelons quelles sont les possibles représentations graphiques des signaux et appliquons ces représentations aux différents types de modulations. Trois représentions sont utilisées concurremment en fonction des aspects à illustrer.

  • Représentation temporelle :

La représentation temporelle d'une modulation d'amplitude est suggérée par la formule (a), où l'amplitude de la porteuse de fréquence f varie sinusoïdalement à la fréquence F (Fig 11b). Le lieu des amplitudes successives du signal modulé est appelé enveloppe de modulation.

La représentation temporelle d'une modulation de fréquence conforme à la formule (b) serait celle de la Fig 11c. A noter qu'une modulation de phase serait représentée par un diagramme équivalent, mais inversé: quand l'amplitude de modulation augmente, la fréquence augmente en modulation de fréquence, alors qu'elle diminue en modulation de phase (une augmentation progressive de phase correspond à une diminution de fréquence). Le signal est ici modulé uniquement en fréquence (ou en phase), son amplitude ne varie pas : il est appelé "à enveloppe constante".

  • Représentation fréquentielle (ou spectrale)

fig12

Nous simplifierons la formule (a) du signal modulé en amplitude en supposant la phase Φ nulle à l'origine, cette phase étant fixe et arbitraire. Soit:

s1(t) = A0.(1 + m.cos Ω.t).(cos ω.t)

Cette expression peut alors s'écrire (selon la relation trigonométrique : cos a.cos b = ½? . [ cos (a+b) + cos (a-b) ])

s1(t) = A0.cos ω.t + ½? .A0.m.cos[(ω + Ω).t] + ½?.A0.m.cos[(ω - Ω).t]

Cette nouvelle relation suggère la représentation fréquentielle de la Fig 12 (où f et F sont les fréquences correspondant respectivement aux pulsations ω et Ω). Cette représentation avec la fréquence en abscisse est aussi appelée "spectre du signal", ou représentation spectrale

Les deux fréquences de part et d?autre de la porteuse (à f-F et f+F) sont appelées bandes latérales. Dans une modulation d?amplitude classique, telle que présentée plus haut, leur niveau ne peut excéder la moitié de celui de la porteuse, niveau qu?elles atteignent pour une profondeur de modulation de 100% (m=1).

Suite : partie 5 - Les modulations numériques.

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Resolution conseillee:1024x768px - Première mise en ligne 15/01/2007